naturels

“Dieu a crée les entiers, le reste est l’œuvre de l’homme.”
(Leopold Kronecker)

Tables de naturels avec leur décomposition en facteurs premiers… :

• jusque 50 (sans frame)  (36,4 Kio)
• jusque 999 (sans frame)  (881 Kio)   sans les liens (sans frame)  (509 Kio)
• de 1000 à 9999 (sans frame)  (6,1 Mio)   sans les liens (sans frame)  (4,8 Mio)

Légende :

• n : naturel
  n = ∑ _d φ(d)  où on somme sur tous les diviseurs d de n   (si n ≠ 0)
• facteurs : décomposition en facteurs premiers dans sa forme normale  ∏ _i=1 ^k    p_i^α_i   (si n ≠ 0)
• π(n) : nombre des nombres premiers ≤ n        [OEIS A000720]
• ω(n) : nombre des facteurs premiers distincts        [OEIS A001221]
  ω(n) = k   (si n ≠ 0)
• Ω(n) : nombre des facteurs premiers        [OEIS A001222]
  Ω(n) = ∑ _i=1 ^k    α_i   (si n ≠ 0)
• σ_-1(n) : somme des inverses des diviseurs
  σ_-1(n) = ∑ _d d^-1  = σ(n) ⁄ n   (si n ≠ 0)
• ν(n) : nombre des diviseurs        [OEIS A000005]
  ν(n) = ∑ _d 1  = ∏ _i=1 ^k    (α_i + 1)   (si n ≠ 0)
• σ(n) : somme des diviseurs        [OEIS A000203]
  σ(n) = ∑ _d d  = ∏ _i=1 ^k    (p_i^{α_i + 1} - 1) ⁄ (p_i - 1)  = σ_impair(n) + σ_pair(n)  = (2^{m₂(n) + 1} - 1) σ_impair(n)   (si n ≠ 0)
  σ(n) avec m₂(n) : plus grand i tel que 2ⁱ divise n
• σ_impair(n) : somme des diviseurs impairs        [OEIS A000593]   (voir problème σ_impair)
• σ_pair(n) : somme des diviseurs pairs        [σ_pair(2n) = OEIS A074400 = 2 σ(n)]
  σ_pair(n) = 2 (2^m₂(n) - 1)σ_impair(n)
• s(n) : somme des diviseurs propres (c.-à-d. différents de n)        [OEIS A001065]
  s(n) = σ(n) - n
• ϖ(n) : produit des diviseurs        [OEIS A007955]
  ϖ(n) = ∏ _d d  = n^{ν(n) ⁄ 2}   (si n ≠ 0)
• r₄(n) = GR(n) : nombre de représentations en somme de 4 carrés d’entiers en tenant compte de l’ordre        [OEIS A000118]
  

  r4(n)	=	24 σimpair(n)	si n est pair ≠ 0
  		8 σimpair(n)	si n est impair	(voir problème r4)

• φ(n) : fonction totient (indicatrice d’Euler)        [OEIS A000010]
  

  φ(n)	=	1	si n = 0
  		(le nombre des naturels ≤ n premiers avec n)  = ∑ d d.μ(n⁄d)  = ∏ i=1 k    n(1 - 1/pi)	si n ≠ 0

• λ(n) : fonction de Liouville        [OEIS A008836]
  λ(n) = (-1)^Ω(n)   si n ≠ 0
• L(n)  = ∑ _i=1 ⁿ    λ(i)        [OEIS A002819]
• μ(n) : fonction de Möbius        [OEIS A008683]
  

  μ(n)	=	(-1)Ω(n)	si Ω(n) = ω(n) et n ≠ 0, c.-à-d. si n est sans carré
  		0	si Ω(n) ≠ ω(n), c.-à-d. si n ≠ 0 contient des facteurs carrés

• M(n) : fonction de Mertens        [OEIS A002321]
  M(n) = ∑ _i=1 ⁿ    μ(i)
• n^F : représentation dans le système de numération de Fibonacci
• n² : représentation en base 2
• n³ : représentation en base 3
• diviseurs : liste strictement ordonnée des diviseurs        [OEIS A027750]

Les n en gras sont les nombres premiers.        [OEIS A000040]

Les autres valeurs en gras sont les points fixes.